Výklad - diskrétní náhodná veličina

Rozdělení pravděpodobností-diskrétní náhodné veličiny

Náhodné veličiny

Náhodné jevy a náhodné veličiny

V předchozím výkladu o počtu pravděpodobnosti jsme se zabývali jevy, výsledkem experimentu byl tedy jeden z elementárních jevů. Další výklad o počtu pravděpodobnosti bude pokračovat tím, že výsledkem experimentu bude číslo. Jinak to lze říci i tak, že elementární jevy budou čísla. Tím se dostáváme k pojmu náhodná veličina.

Ten nejjednodušší příklad už jsme probírali. Je jím házení kostkou. Když nás přestane zajímat, která strana kostky padla, ale zajímá nás už jen číslo, které vyšlo, hovoříme o náhodné veličině. Tento posuv od toho, jakým způsobem došlo k odvození pravděpodobnosti směrem k tomu, že nás zajímá jen číslo a k němu přiřazené pravděpodobnosti je typický. Ve statistice se zabýváme hlavně čísly a náhodné veličiny jsou tím hlavním, co je potřebné k zvládnutí základních pojmů statistiky.

Náhodné veličiny se dělí na diskrétní a spojité. Jejich matematický popis je podstatně odlišný. Porovnání dvou veličin, z nichž jedna je diskrétní a druhá spojitá, je možné pomocí jejich distribučních funkcí, jež jsou obdobou kumulativních relativních četností. V tomto smyslu pak bude možné říkat jak dalece se diskrétní a spojité náhodné veličiny od sebe liší.

Pro názornost se někdy používá pojmu realizace náhodné veličiny. Tím je myšlen jeden experiment, jehož výsledkem je číslo. Z matematického hlediska je to prostě jedna náhodná veličina, ale pojem realizace se zavádí jen proto, aby bylo možné si představit něco konkrétnějšího. Jako jednoduchý příklad pro promyšlení by opět mohl posloužit hod kostkou.

Náhodné veličiny se zásadně označují velkými písmeny, typicky X, Y. Číselné hodnoty se označují písmeny malými. Například to, že náhodná veličina bude menší než číslo t se zapisuje jako P(X<t). Při přísně množinovém přístupu se jedná o pravděpodobnost jevu, že X<t tedy množinu elementárních jevů, jejichž hodnoty jsou menší než t, když si uvědomíme, že u náhodných veličin jsou elementárními jevy čísla.

Diskrétní náhodné veličiny

Diskrétními náhodnými veličinami rozumíme ty, které nabývají jen konečného nebo spočetného množství hodnot. Spočetné množství prvků znamená takové, že se dá očíslovat celými kladnými čísly. Množinu skládající se ze spočetného množství prvků lze po očíslování jejich prvků napsat jako posloupnost.

Všechna reálná čísla, ani intervaly, ať otevřené nebo uzavřené, skládající se z reálných čísel, nelze napsat jako posloupnost všech čísel v těchto intervalech. Tvoří tudíž množiny nespočetné.

Nejčastěji jsou studovány diskrétní náhodné veličiny, které nabývají konečného počtu hodnot, a to hodnot 0, 1, 2, …, N. Diskrétním náhodným veličinám, které nabývají konečného počtu hodnot, odpovídají ordinální data. Relativním četnostem v případě ordinálních dat budou odpovídat pravděpodobnosti u diskrétních náhodných veličin.

Pro popis diskrétní náhodné veličiny tedy už jen potřebujeme znát pravděpodobnosti, s jakými náhodná veličina jednotlivých hodnot nabývá. Tyto pravděpodobnosti označujeme P(X=K). Pokud je jasné, o kterou náhodnou veličinu jde, zjednodušíme si práci použitím zkráceného označení P(K).

Nejjednodušším popisem diskrétní náhodné veličiny je tabulka, ve které se uvedou hodnoty, kterých náhodná veličina nabývá a pravděpodobnosti.

0 P(0)

1 P(1)

2 P(2)

: :

: :

N P(N)

Principem tohoto způsobu zápisu je vyjmenování hodnot, čili elementárních jevů, a jejich pravděpodobností. Poznamenejme, že jestliže náhodná veličina nabývá jen hodnot 0 až N, musí být součet všech pravděpodobností roven jedné,

neboť je to pravděpodobnost jevu jistého. Množinu hodnot, kterých nějaká náhodná veličina nabývá, si můžeme rozšířit, pak ale musíme prohlásit, že pravděpodobnosti hodnot, o které rozšiřujeme, jsou nulové.

Příklad: Házení ideální kostkou. Náhodná veličina takto vzniklá má tabulku

X P(X)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

Kdyby někdo chtěl definici od nuly, bude to

X P(X)

0 0

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6