Výklad - korelace

Korelační koeficient (r)

Účelem korelačního koeficientu je numericky popsat, zda se jedná o dvourozměrnou náhodnou veličinu, ve které jsou jednotlivé složky závislé či nezávislé.

Korelační koeficient r Є<-1;1>. Tedy r = 0 znamená nezávislost. Jestliže se r blíží jedné nebo minus jedné, jedná se o silnou závislost. To je vidět také na následujících obrázcích. Na vrstevnicové mapě pro plochu při r = 0 vidíme, že vrstevnice mají tvar kruhu. Může to být také elipsa. Podstatná je symetrie jak vertikální, tak horizontální.

Druhá vrstevnicová mapa znázorňuje případ, kdy r = 0,9. Je jasně vidět, že osa symetrie dvourozměrné hustoty je skloněná. To je možné číst také tak, že si všímáme, kde je hustota nejvyšší. Z toho by bylo možné usoudit, že čím je větší x, tím je větší y. Je ale třeba to chápat spíš tak, že větší x a y nebo menší x a y nastanou s větší pravděpodobností než malá x a velká y nebo velká x a malá y. Nejedná se o kauzalitu, protože jde o dvourozměrnou náhodnou veličinu.

Objasnění výpočtu korelačního koeficientu

Základní popisná charakteristika, kterou se hodnotí závislost u dvourozměrné náhodné veličiny je korelační koeficient. Vzorec je tento:

Pro odlišení od ostatních měr závislosti se někdy tento korelační koeficient nazývá Pearsonův.

Pro objasnění toho, co tento vzorec znamená, si nejprve zdůvodníme, proč se v něm vyskytují průměry. Ty mají za úkol vycentrovat korelační mrak, to znamená posunout jej tak, aby počátek soustavy souřadnic byl umístěn uprostřed mraku. To je vidět na následujících dvou obrázcích.

Vzorec má tvar

V čitateli je součet příspěvků jednotlivých bodů. Pokud jsou obě souřadnice kladné, je jejich součin kladný a jejich příspěvek je kladný. Když jsou obě souřadnice záporné, je jejich součin kladný a takový bod přispívá kladným příspěvkem. Když je jedna souřadnice kladná a ta druhá záporná, jejich součin je záporný a takový bod má záporný příspěvek. Velikost příspěvku jistě závisí na umístění vzhledem k počátku.

V našem příkladě převládají příspěvky kladné, tudíž korelační koeficient je kladný.

Korelační koeficient je bezrozměrný. Navíc při násobení veličiny kladnou konstantou se korelační koeficient nemění. Vynásobíme-li totiž veličinu u kladnou konstantou b, tuto konstantu můžeme vytknout jak v čitateli, tak ve jmenovateli, proto se vyruší a korelační koeficient se nemění.

Výraz ve jmenovateli zajistí, že korelační koeficient bude vždy v intervalu <-1; 1>.

Z předcházejících úvah je vidět, že korelační koeficient blízký jedné dává vysokou závislost ve smyslu přímé úměrnosti, tedy čím větší je x, tím větší je také y. Korelační koeficient blízký -1 dává vysokou závislost opačnou, čím větší x, tím menší y.