Výklad - odhady parametrů

INTERVALOVÉ ODHADY POPULAČNÍCH PARAMETRŮ

Jak bylo uvedeno v předchozí podkapitole, neznámou hodnotu populačního parametru můžeme odhadnout prostřednictvím bodového nebo intervalového odhadu.

Intervalový odhad je interval, v němž s předem danou pravděpodobností leží neznámá hodnota populačního parametru.

Intervalovému odhadu obvykle říkáme interval spolehlivosti.

Odhadovat můžeme jakýkoliv parametr, nejčastěji ale odhadujeme hodnotu populačního aritmetického průměru.

Interval spolehlivosti aritmetického průměru

Než se pustíme do konstrukce intervalu spolehlivosti, musíme si něco povědět o rozdělení výběrových průměrů. Uvažujme náhodnou veličinu X s normálním rozdělením. Jak už víme, z populace (tj. množiny možných realizací veličiny X) můžeme získat různé výběry. Pořídíme-li z populace mnoho různých výběrů o téže velikosti, budou výběrové průměry rozmístěny na číselné ose vlevo i vpravo od populačního průměru a to tak, že většinou budou populačnímu průměru hodně blízko. Hodně odlišné výběrové průměry dostaneme zřídka. Výběrové průměry (tj. veličina $\bar{X}$) mají normální rozdělení $N(\mu,\sigma_{\bar{X}})$. $\sigma_{\bar{X}$, tj. směrodatná odchylka rozdělení výběrových průměrů, bývá obvykle nazývána střední chybou průměru (angl. standard error of mean) a vypočte se následovně:

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt n}$

(Je-li $\sigma_{\bar{X}$ malé, potom máme dobrou šanci, že výběrový průměr leží blízko skutečného průměru populace.)

Veličinu $\bar{X}$ lze standardizovat. Dostaneme veličinu

$\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}$

s normovaným normálním rozdělením N(0,1).

Problém je v tom, že $\sigma$ obvykle neznáme. Musíme ho tedy odhadnout pomocí výběrové směrodatné odchylky s.

Veličina $\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt n}}$ ale už nemá normální rozdělení, ale rozdělení Studentovo, neboli t-rozdělení, s počtem stupňů volnosti $\nu$= n – 1.

Když uvážíme, že Studentovo rozdělení je symetrické, víme, že když t je 97,5 procentní kvantil tohoto rozdělení pro n-1 stupňů volnosti, pak -t je 2,5 procentní kvantil Studentova rozdělení pro n-1 stupňů volnosti. Pravděpodobnost, že náhodná veličina s tímto rozdělením bude v intervalu (-t; t) je 95 %.

$P(-t$

Postupnými úpravami nerovností dosáhneme osamostatnění μ.

Výsledné nerovnosti budou platit s 95-ti procentní pravděpodobností.

Nejprve násobíme obě nerovnosti výrazem ve jmenovateli.

$-tS/\sqrt n$

Odečteme u obou nerovností $\bar{X}$.

$-\bar{X}-tS/\sqrt n$

Vynásobení číslem -1 dá požadovaný výsledek. Pozor na znaménka a znak nerovnosti!

$\bar{X}-tS/\sqrt n$

Tato nerovnost platí za uvedených předpokladů s pravděpodobností 95 procent a dává interval pro střední hodnotu. Tedy takový interval, ve kterém se s 95% pravděpodobností nachází populační průměr µ. Takový interval se nazývá interval spolehlivosti, přesněji 95-ti procentní interval spolehlivosti pro µ. Dá se také říci, že 95% interval spolehlivosti pokrývá populační průměr s 95% pravděpodobností.

Podobným způsobem bychom získali 99-ti procentní interval spolehlivosti. Jako t bychom brali 99,5-ti procentní kvantil Studentova rozdělení s n-1 stupni volnosti. Je jasné, že 99-ti procentní interval spolehlivosti bude širší než 95-ti procentní interval spolehlivosti.

Existují postupy, které slouží k odvození intervalů spolehlivosti také pro jiné parametry.