Normální (Gaussovo) rozdělení

Podle svého použití v praktických aplikacích je nejčastějším typem rozdělení normální neboli Gaussovo rozdělení s parametry µ a σ . Značí se N(µ,σ ), kde µ je populační průměr a σ je populační směrodatná odchylka průměru. Hustota je definována jako

h(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Číslo e je Eulerovo číslo. Je rovno přibližně 2,718281828 a používá se jako základ přirozeného logaritmu. Hned na první pohled vidíme, že tato hustota je symetrická kolem µ, jelikož µ se vyskytuje ve výrazu (x - µ)2 a tudíž záleží jen na absolutní hodnotě rozdílu (x - µ) a ne na tom, jestli je kladný nebo záporný. Parametr µ je středem symetrie a v tomto smyslu se dá říci, že určuje polohu rozdělení. Představme si σ pevné, pak změna µ znamená jen posun hustoty, tvar zůstává stejný.

Pro pochopení bude dobré naznačit průběh funkce h(x). Čím větší je x > µ, tím větší je  výraz

\frac{{\left({x-\mu}\right)^2}}{{2\sigma^2}}

 a tedy

e^{-\frac{{\left({x-\mu}\right)^2}}{{2\sigma^2 }}}

je naopak menší.

Proto se říká, že hustota normálního rozdělení má zvonovitý tvar nebo tvar klobouku.

Čím větší je σ tím je "klobouk" nižší a širší.


(Výraz zajišťuje, aby celková plocha pod křivkou hustoty byla rovna jedné.)


Použití normálního rozdělení

Normální rozdělení se používá tam, kde hustota rozdělení má zvonovitý tvar, to znamená, že je symetrická a pro rostoucí i klesající x jde h(x) k nule. To je splněno velmi často. Existují k tomu teoretická zdůvodnění. Také pro praktické aplikace existuje jednoduché pravidlo. Jestliže náhodná veličina vzniká měřením, při kterém se chyby měření kombinují sčítáním, pak tato náhodná veličina má přibližně normální rozdělení.

Zkusíme si krejčovským metrem změřit délku stolu. Předpokládejme, že skutečná délka stolu je µ. Při měření vznikají chyby měření, jak kladné, tak záporné. Záleží na úhlu, pod jakým se na metr dívám, jak přesně je začátek metru přiložen, jak je metr napnut a na mnoha dalších vlivech. Takové chyby měření se kombinují sčítáním a tudíž hustota takto vzniklé náhodné veličiny bude mít zvonovitý tvar a pro její popis se použije normální rozdělení.

Normalita rozdělení není v praxi samozřejmostí, je nutno ji ověřit!

Existují metody na takové ověření, ale zatím jediný způsob, který jsme schopni vysvětlit, je použití histogramu, na kterém si ověříme jak symetrii, tak tvar zvonu.

Příklad normálního rozdělení:

Výška osob mužského, případně ženského, pohlaví má rozdělení tvaru zvonu. Nejobvyklejší výšky jsou v prostřední části pod hustotou, která je symetrická. (Zdroj: Carola, R., etal, Human Anatomy and Physiology, second edition, 1992, Appendix A.16.) Zde se nejedná o chyby měření, jde o variabilitu mezi jedinci.