Výklad - spojitá náhodná veličina

Studentovo rozdělení (t-rozdělení)

Definice:

Studentovo rozdělení je teoretické rozdělení pravděpodobností. Křivka jeho hustoty je symetrická a svým zvonovitým tvarem se podobá křivce hustoty normálního rozdělení. Křivka Studentova rozdělení mění svůj tvar v závislosti na hodnotě parametru, který se nazývá počet stupňů volnosti a značí se df (degrees of freedom).

Stupně volnosti (df)

· jediný parametr Studentova rozdělení

· jakékoliv přirozené číslo

· čím je počet stupňů volnosti menší, tím je křivka t-rozdělení plošší a tím pádem je plocha ve „chvostech “ rozdělení větší

· se zvyšujícím se počtem stupňů volnosti se hustota Studentova rozdělení blíží hustotě normovaného normálního rozdělení. Pro stupně volnosti větší než 100 už grafy hustot obou rozdělení splývají.

Hustota pravděpodobnosti Studentova rozdělení je symetrická kolem nuly a má zvonovitý tvar. Graf hustoty Studentova rozdělení vypadá skoro stejně jako graf Gaussova rozdělení s parametry $\mu =0$ a $\sigma =1$, proto by uvedení obrázku bylo nadbytečné.

Bývá vhodné nejen znát hustotu, ale také distribuční funkci. Obecně distribuční funkce $F(x)$je definována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina je menší než dané číslo $x$. Protože hustota Studentova rozdělení je symetrická kolem nuly, hned víme, že $F(0)=1/2.$ Často jsou v aplikacích potřebné kvantily rozdělení, které nejsou ničím jiným než inverezní funkcí pro distribuční funkci. 50-ti procentní kvantil, čili medián, Studentova rozdělení známe, je to $\tilde{x}=0,$ díky symetrii, protože $F(0)=1/2.$ Spíš se ale budeme zajímat o 95-ti a 97,5-ti procentni kvantily, čili některé horní kvantily. Opět díky symetrii si okamžitě můžeme odvodit dolní, to jest 5-ti a 2,5-ti procentni kvantily.