Výklad - přesnost měření

Problematika přibližných čísel se ve statistice neřeší a slovo přesnost má jiný význam než v textu o přibližných číslech. Pokud jde o počítání, tak předpokládáme, že se bude provádět v Excelu a tak není potřeba řešit kolik platných číslic se má používat při výpočtech. Naopak je třeba věnovat pozornost tomu, kolik platných cifer má mít výsledek.

Nejdříve si musíme ujasnit přesný význam některých slov, který se liší často od běžně chápaného významu v mluvené řeči. Ve většině případů měření fyzikální veličiny je zřejmé, že tato musí mít nějakou správnou hodnotu. Měříme-li např. velikost odporu nějakého rezistoru, potom při měření metodou přímou (změříme proud tekoucí rezistorem a napětí na rezistoru) dostaneme pro různé hodnoty napětí v obvodu různé hodnoty proudu. Je zřejmé, že všechny hodnoty odporu, které získáme, by měly být totožné. Z řady důvodů, které budou probrány později, však zjistíme, že tomu tak není. Předpokládejme, že v uvedeném případě získáme nejmenší vypočtenou hodnotu rovnou 7,5 Ω a největší hodnotou 7,7 Ω. Intuitivně cítíme, že nejlepší odhad skutečné hodnoty odporu daného rezistoru bude 7,6 Ω. Tento výsledek měření se obvykle zapíše:

Naměřená hodnota odporu = 7,6 ± 0,1 Ω.

Výsledek jakéhokoliv měření veličiny x se obecně vyjadřuje jako:

naměřená hodnota x = nejlepší odhad x ± δx.

Toto tvrzení znamená, že:

1. Experimentátorův nejlepší odhad měřené veličiny je nejlepší odhad x.

2. Experimentátor má důvody, aby věřil tomu, že skutečná hodnota veličiny leží někde v intervalu: <x − δx, x + δx>. Číslo δx vyjadřuje nejistotu ve vyjádření výsledku měření veličiny x. Tuto nejistotu popisujeme kladným číslem δx, takže x_nejlepší + δx je vždy nejvyšší pravděpodobná hodnota měřené veličiny a x_nejlepší - δx je nejnižší pravděpodobná hodnota měřené veličiny.

Zatím ponechme stranou, jakým způsobem spolu souvisí nejlepší hodnota x a hodnota správná a jaký je přesný význam rozsahu x_nejlepší - δx až x_nejlepší + δx. Prozatím se spokojíme se skutečností, že jsme si rozumně jisti tím, že měřená veličina leží někde v tomto intervalu.

Hodnota δx vyčísluje nejistotu, kterou máme při měření, a neměla by být vyjadřována s nepřiměřeně velkou přesností. Budeme-li v uvedeném příkladě schopni měřit hodnoty napětí a proudu s přesností na desetiny voltu a ampéru, nemá evidentně smysl vyjádřit výsledek měření jako 7,6 ± 0,54321 Ω, i když při použití kalkulačky nebo počítače můžeme takový výsledek dostat.

Pro běžná fyzikální i biologická měření můžeme použít následující pravidlo:

Nejistotu, kterou při měření veličiny máme, zaokrouhlujeme na jedno platnou číslicí. K tomuto pravidlu existuje jedna výjimka: jestliže první číslicí ve vyjádření nejistoty je jednička (např. zjistíme-li výpočtem, že δx = 0,14, pak zaokrouhlení na δx = 0,1 by vedlo k značné redukci vyjádření přesnosti naměřené veličiny) hodnotu δx vyjadřujeme na dvě platné cifry.

Jakmile jsme vyjádřili nejistotu daného měření, můžeme také určit, na kolik platných číslic máme zaokrouhlit nejlepší odhad měřené veličiny. Je zřejmé, že tvrzení jako

rychlost = 5321,68 ± 30 m/s

je přinejmenším poněkud zvláštní. Nejistota vyjádřená číslem 30 znamená, že číslice 2 na třetím místě tohoto výsledku může být ve skutečnosti 9 nebo 5 (výsledek tedy leží v intervalu <5290, 5350> a všechny následující číslice nemají už vůbec žádný reálný význam. To znamená, že výsledek by měl správně být vyjádřen:

rychlost = 5320 + 30m/s.

Z uvedeného můžeme tedy formulovat pravidlo pro vyjádření výsledku:

Poslední platná číslice v jakémkoliv výsledku měření by měla být stejného řádu jako je příslušná nejistota. Vše, co bylo zatím řečeno, platí pouze pro konečné vyjádření výsledku, při výpočtu zaokrouhlujeme mezivýsledky o jednu platnou číslici výše.

V této souvislosti se zmiňme o počtu platných cifer při vyjadřování čísel, která jsou podílem četností různých jevů (pravděpodobnost nebo procenta). Zjistíme-li např., že v souboru 10 jedinců, kteří psali přijímací test, čtyři uspěli, můžeme tuto skutečnost vyjádřit tak, že pro 60 % uchazečů je test obtížný nebo že pravděpodobnost, že náhodně vybraný student z této skupiny úspěšně napsal přijímací test, je 0,4. Obě čísla jsou přesným vyjádřením zjištěné (naměřené) skutečnosti. Bude-li však test psát 9 nebo 11 lidí můžeme výsledek vyjádřit s libovolným počtem platných míst (např. 55,5556 % respektive 63,6364 %) a výsledná čísla mohou vypadat značně rozdílně. Jistě intuitivně cítíme, že smysluplný počet platných cifer je v takových případech dán velikostí souboru, na kterém bylo zjišťování prováděno. Narodí-li se v ČR za jeden rok řádově 60 000 dětí je oprávněné napsat, že pravděpodobnost narození chlapce je 0,5143. Číslo 0,5, které je správně zaokrouhleným předcházejícím výsledkem, je zcela nepřípustnou redukcí, skrývající zjištěný fakt, že pravděpodobnost narození chlapce je větší než pravděpodobnost narození dívky. S vědomím, že se dopouštíme určitého zjednodušení, budeme pro vyjádření poměrných čísel používat toto pravidlo: počet platných cifer odpovídá dekadickému řádu počtu prvků v souboru.

Připomeňme si pravidla pro zaokrouhlování čísel:

Je-li číslice následující za poslední platnou číslicí 0, 1, 2, 3 nebo 4, poslední platná číslice se nemění. Je-li uvedená číslice rovna 5, 6, 7, 8 nebo 9, zvětší se poslední platná číslice o jedničku.

První platnou číslicí rozumíme první nenulovou číslici v čísle zleva (v čísle 0,00321, je to číslice 3; v čísle 1,00 jsou nuly druhou a třetí platnou číslicí).

Při zápisu velmi malých nebo velmi velkých čísel je pro vyjádření požadovaného počtu platných číslic možno použít tzv. vědecký zápis čísel, ve kterém je číslo složeno z mantisy a exponentu, obvykle při základu 10. Mantisa bývá desetinné číslo, ve kterém je před desetinnou čárkou právě jedna číslice a za desetinnou čárkou je tolik číslic, aby dohromady daly požadovaný počet platných číslic. Například číslo 800 800 zaokrouhlené na 4 platné číslice zapíšeme jako 8,008×10⁵, respektive jako 8,008·10⁵.

POZOR: Nepleťte si počet platných číslic s počtem desetinných míst!

Kvantifikace chyb měření.

Nejistota δx uváděná v zápisu výsledku měření je mírou spolehlivosti s jakou jsme schopni měření provádět, ale pouze s určitým omezením. Je jasné, že δx rovné dvěma desetinám ohmu má zcela jiný význam, je-li správná hodnota v řádu ohmů nebo kiloohmů. O přesnosti měření zdaleka nejlépe vypovídá relativní nejistota, vyjádřená jako podíl

δx/x_nejlepší

Po vynásobení 100 mluvíme o procentové nejistotě. Z fyzikálního hlediska je zásadní rozdíl mezi δx a relativní i procentovou nejistotou v tom, že první má rozměr měřené veličiny, zatímco druhé dvě mají rozměr jedna (jsou bezrozměrné). S nimi též úzce souvisí počet platných (signifikantních) číslic, kterými výsledek měření (nebo výpočtu) vyjadřujeme. Zhruba můžeme říci, že 1 platná číslice odpovídá 10% nejistotě ve vyjadřování výsledku měření (ve skutečnosti je to mezi 5 – 50 %, protože naměřená hodnota x = x_nejlepší ± δx), 2 platné číslice 1%, 3 platné číslice 0,1% nejistotě. Tuto poslední hodnotu už lze považovat za velmi uspokojivou přesnost, jejíhož zlepšení lze běžným způsobem dosáhnout obtížně. To je také důvodem, proč požadujeme, aby výsledky výpočtů nebyly vyjadřovány na více platných cifer. Naopak tam, kde je zřejmé, že vstupní údaje mají počet platných číslic menší, musí i výsledek být vyjádřen na menší počet platných cifer. Pro vyjadřování výsledků příkladů i výpočtů v praktických cvičeních biofyziky i bio$\varepsilon _i = x_i-x_{spr}$

Obdobně jako u nejistoty můžeme definovat chybu relativní a procentovou

$\varepsilon _{rel}=\frac{{x_i }}{{x_{spr} }}$

$\varepsilon _\% = \varepsilon _{rel}\cdot 100$

V dalším textu bude ukázáno, že za určitých předpokladů je nejlepším odhadem správné hodnoty aritmetický průměr opakovaných měření, označovaný většinou  $\bar x$. Rozdíl aritmetického průměru a naměřené hodnoty x_i se nazývá odchylka měření Δ_i

$\Delta _i = x_i-\bar x$

Hlavními příčinami, pro které k chybám při měření dochází, jsou nedokonalost a nepřesnost měřicích přístrojů, metod, či našich smyslů a nepozornost nebo nemožnost vyloučení působení vnějších dějů, které mají vliv na výsledek měření (např. kolísání teploty, atmosférického tlaku).