Výklad - parametrické t-testy

Jako párový model označíme takový, při kterém jsou pozorování provedena ve dvojicích tak, že má smysl pozorované hodnoty v každém páru od sebe odečíst. Příkladem je provádění dvojic měření na stejných jedincích či předmětech za různých podmínek experimentu.

Typickým příkladem je měření nějaké veličiny před léčbou a po léčbě u stejných pacientů. Je možné hovořit o naměřené veličině před a po působení na tentýž subjekt a chceme zjistit, jaký má takové působení vliv.

Párování může vznikat také jinak. Uvedeme příklad příjmu manžela a manželky. Jestliže je zjišťujeme v jedné rodině, má smysl je porovnat a odečíst. Jedná se tedy o párový model.

Jiným příkladem může být porovnání opotřebení předního a zadního pláště jízdního kola, kde párování je zajištěno tím, že měření se provádí na pláštích na tomtéž kole. Vybíráme tedy dvojice plášťů najednou, nikoliv pláště předních kol zvlášť a pak pláště zadních kol u jiných jízdních kol.

Příklad:

U 10 osob měříme hladinu cholesterolu před léčbou a po léčbě.

Označme jako x_i měření před a y_i měření po léčbě. Dostáváme tak páry (x_i; y_i) měření pro i = 1 , 2, …, N. Takové páry tvoříme proto, abychom mohli definovat rozdíl z_i = y_i - x_i.

Dále už můžeme počítat jen s tímto rozdílem, protože x_i  < y_i je totéž jako z_i > 0, také x_i > y_i je totéž jako z_i < 0 a nakonec x_i = y_i je totéž jako z_i = 0.

Podobně je možné zacházet s náhodnými veličinami X_i a Y_i , kde i=1, 2, ... N. Definujeme nové náhodné veličiny Z_i = X_i - Y_i a ptáme se, zda je µ_Z rovna nule. Experimenty navrhneme tak, že provádíme realizace dvojic náhodných veličin (X_i  , Y_i ) a z nich dostaneme Z_i = X_i - Y_i .

Nulovou hypotézu o shodě středních hodnot můžeme zapsat jako:

H₀: µ_Z = 0 nebo H₀: µ_X -µ_Y = 0.

Vtip je v tom, že takovou H₀ již umíme testovat pomocí jednovýběrového t-testu. V případě, že náhodné veličiny Z_i mají normální rozdělení s parametry $\mu =0$ a nějaké $\sigma,$ víme, že náhodná veličina

$\frac{\bar{Z}-\mu_Z}{S_z /\sqrt N}$

má Studentovo rozdělení o N -1 stupních volnosti a umíme již stanovit obor přijetí a obor zamítnutí. Je to stejné jako u jednovýběrového t-testu, který v tomto případě použijeme k testování rozdílů.

Kdybychom měli k dispozici jen informaci o snížení nebo zvýšení hladiny cholesterolu, hovořili bychom o úspěchu nebo neúspěchu a mohli bychom použít tzv. znaménkový test (viz neparametrické testy), který je rovněž testem párovým. Pokud ale znaménkový test použijeme u spojité náhodné veličiny (jako v tomto případě), dojde ke ztrátě informací o velikosti snížení nebo zvýšení. Taková ztráta informace vede obvykle k tomu, že se sníží síla testu, což je nežádoucí.

Příklad:

U 20 osob zaznamenáváme krevní tlak v klidu a po zátěži. Pokud tlak krve skutečně měříme, ale zapisujeme pouze to, zda došlo ke zvýšení nebo snížení tlaku, můžeme k testování použít jen znaménkový test. Tím dojde ke ztrátě informace o velikosti změny tlaku. Bereme-li ale v úvahu naměřené hodnoty a použijeme párový t-test, ke ztrátě této informace nedochází a síla testu je větší.