Podmíněná pravděpodobnost

Je-li dána nějaká základní množina elementárních jevů, neboli jev jistý, můžeme si představit, že je na jejich podmnožinách, tedy jevech, definována pravděpodobnost. Jakákoliv definice pravděpodobnosti je vždy vztažena k nějaké základní množině. Například při geometrické definici se plocha základní množiny vyskytuje ve jmenovateli. Kdybychom jako základní množinu zvolili množinu jinou a s jinou plochou, byla by podle toho přizpůsobena definice pravděpodobnosti daného jevu, totiž tím, že by došlo ke změně ve jmenovateli.


Častým případem je situace, kdy o daném jevu je k dispozici nějaká částečná informace. Obvykle se uvažuje, že není znám kompletní výsledek experimentu, ale jen částečná informace. Taková informace může změnit naši znalost natolik, že vede k úpravě definice pravděpodobnosti.

Například házíme hrací kostkou a zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že padne šestka. Podle klasické definice víme, že je tato pravděpodobnost rovna P=1/6. Byl proveden hod kostkou, nevíme přesně, jaký je výsledek, ale je nám dostupná informace, že padlo číslo sudé. Tím se celá situace mění. Počet všech možných výsledků již není šest, ale tři, protože se jedná o padnutí sudých čísel 2, 4 a 6, z nichž jeden výsledek je ten námi žádaný, a to šestka, takže v takové situaci pravděpodobnost není 1/6, ale 1/3. Hovoříme o podmíněné pravděpodobnosti.

Lépe se potřebný vzorec odvodí z geometrické definice. Představme si, že je dán základní obrazec S představující jistý jev. V základním obrazci jsou pomocí obrazců A a B vyznačeny dva jevy a jejich průnik A B, který může být neprázdný. Plochu obrazců budeme značit písmenem a.

Pravděpodobnosti vypočteme jako P(A) = a(A)/a(S), dále P(B) = a(B)/a(S)

nebo P(A ∩ B) = a(A ∩ B)/a(S). Nyní je nám ale řečeno, že byl proveden experiment a s jistotou už víme, že nastal jev B a máme vypočítat pravděpodobnost jevu A za tohoto předpokladu. Za nové změněné situace je pak jevem jistým jev B. Tím se nám také mění okolnosti pro definici pravděpodobnosti. Ve jmenovateli musí být a(B) a v čitateli je pak jen plocha té části A, která je zároveň v B. Ta část A, která není v B nepřipadá v úvahu, protože víme, že se stalo B. Takto vidíme, že se jedná o průnik A ∩ B.


Podmíněná pravděpodobnost je rovna P(A/B) = a(A∩B)/a(B), předpokládáme-li, že a(B)>0.

Symbol pro podmíněnou pravděpodobnost P(A/B) se čte pravděpodobnost A podmíněno B nebo A za podmínky, že B. Nikdy A lomeno B.

Mohlo by nás zajímat, zda a jak se dá vypočítat podmíněná pravděpodobnost pomocí původních pravděpodobností. Dá se to udělat dělením čitatele i jmenovatele plochou původního jistého jevu.



Toto vyjádření je důležité, protože umožňuje zapsat podmíněnou pravděpodobnost jen pomocí pravděpodobností původních bez jakéhokoliv odkazu na původní definici pomocí ploch. Píšeme prostě



V případě hodu hrací kostkou jsme dostali P(A/B)=1/3, kde jev A je padnutí šestky a podmínkou je jev B, padnutí sudého čísla. Zapišme P(A/B)=1/3=(1/6)/(3/6)=P(A∩ B)/P(B). Tím je vzorec ověřen i pro tento případ.


Obecně pro definici podmíněné pravděpodobnosti pro klasickou definici potřebujeme označit počet výsledků NS, ze kterých se skládá jev jistý S, počet výsledků NA, ze kterých se skládá jev A, počet výsledků NB, ze kterých se skládá jev B a počet výsledků NA∩ B, ze kterých se skládá průnik A,B. Pokud máme informaci, že nastal jev B, nastává nová situace a podle klasické definice bude ve jmenovateli počet NB výsledků, ze kterých se skládá jev B a v čitateli bude počet NA ∩ B, protože jen výsledky, které jsou zároveň v A i v B jsou ty, při kterých může nastat jev A.

Pak můžeme zapsat pravděpodobnosti P(A)= NA/NS , P(B)=NB/NS a P(AB)= NAB/NS.

Tak jako v geometrické definici, když P(B)>0, zapíšeme podmíněnou pravděpodobnost pomocí klasické definice a přepíšeme ji do tvaru, který používá jen původní pravděpodobnosti.




Opět vidíme, že podmíněná pravděpodobnost se dá zapsat jen pomocí pravděpodobností původních a na počty výsledků v jednotlivých jevech se nemusíme odkazovat.


Je snadné si představit, že stejný vzorec bychom dostali pro jakoukoliv aditivní množinovou funkci, kterou bychom použili pro definici pravděpodobnosti. Dále je dobré si promyslet, že ani takové množinové funkce použít nemusíme a můžeme použít definici podmíněné pravděpodobnosti pro pravděpodobnosti definované axiomaticky. Podmíněná pravděpodobnost pak je




Základní vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti (nepovinné)

Při definici pravděpodobnosti, i když axiomatické, je třeba si představit nějakou pevně definovanou základní množinu tvořící jistý jev. Pravděpodobnosti jsou pak definovány právě ve vztahu k takové základní množině. To nám říká, že pravděpodobnost je v tomto smyslu definována podmíněně. Je možné samozřejmě tuto základní množinu rozšířit. Pokud ji zúžíme, máme běžnou definici podmíněné pravděpodobnosti. V tomto duchu je také možné se dívat ve statistice na definici populace. Nejen si uvědomit, co znamená požadavek, aby populace byla homogenní a jakou to může mít souvislost třeba s klasickou definicí pravděpodbnosti, ale můžeme vidět, co znamená rozšíření či zúžení populace.


Vzorce pro výpočet podmíněných pravděpodobností P(A/B)=P(AB)/P(B) platí jen za předpokladu, že tyto původní pravděpodobnosti jsou definovány vzhledem ke stejné základní množině tvořící jistý jev. Někdy dochází ke směšování a tudíž k chybným úvahám. Je nutné si říci, že to není povoleno, neboť pro takový případ vzorce neplatí. Bylo by možná přípustné použít odhadu pravděpodobnosti z jiné základní množiny, ale je nutné na to upozornit a vědět, že je to odhad. Typické je používání odhadů z loňského roku pro rok letošní, kde se jistě nejedná o stejnou základní množinu a je třeba o tom informovat. V tom případě se předpokládá, na základě zkušeností, že víme, že základní množina se mění jen zanedbatelně. Jinou otázkou může být, jak toto můžeme předpokládat pro roky budoucí a dělat předpovědi.

Bylo již naznačeno, že jakmile se řekne pravděpodobnost, platí aditivnost, nezápornost a omezení jednou. To si musíme ukázat i pro podmíněnou pravděpodobnost. Uvažujme základní množinu S, jevy A, B a podmiňovat je budeme jevem C, kde P(C)>0. Jestliže A∩B je jev nemožný, je i (A ∩ C)  ∩ (B ∩ C) jako jeho podmnožina též jev nemožný,

tudíž P((A ∩ C) U (B ∩ C)) = P(A ∩ C)+P(B ∩ C). Tím ukážeme aditivnost

P(A\cup B)/C)=\frac{P((A\cup B)\cap C)}{P(C)}=\frac{P((A\cap C)\cup (B\cap C))}{P(C)}=\frac{P(A\cap C)+P(B\cap C)}{P(C)}=P(A/C)+P(B/C).